2015학년도 부산대학교 수시모집 지역인재전형Ⅰ

논 술 고 사(자연계) 문 제 지

지원학과(학부)

수험번호

성명

과목

수학

【유의사항】

1. 시험시간은 100분입니다.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오.

3. 답안 수정 시 지우개 사용 가능합니다.

4. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오.

5. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

6. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

7. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

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【문항1】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

	점 [eqn: (x,y)]를 원점 [eqn: O]를 중심으로 각 [eqn: theta]만큼 회전이동한 점을 [eqn: (x',y')]라고 할 때, [eqn: pmatrix {x' # y' } = pmatrix { cos theta & ~~-sin theta # sin theta & ~~~cos theta } pmatrix {x # y }] 이다.

1-1. 이차곡선 [eqn: 5x^2 -6 sqrt { 3} xy -y^2 -24 =0]을 원점 [eqn: O]를 중심으로 적당한 [eqn: theta (0< theta < { pi } over {2 })]만큼

회전이동하여 [eqn: Ax' ^2 +By' ^2 +C =0]의 꼴로 표현하시오. (15점)

1-2. 이차곡선 [eqn: 5x^2 -6 sqrt { 3} xy -y^2 -24 =0]의 두 초점 [eqn: F] 와 [eqn: F``']에 대하여 [eqn: F]를 지나는 직선이

이차곡선과 만나는 점을 [eqn: A]와 [eqn: B]라고 하자(단, 점 [eqn: F]는 선분 [eqn: bar { AB}] 위에 있다).

삼각형 [eqn: AF``'B]의 둘레의 길이가 [eqn: 12sqrt { 3}]일 때, 선분 [eqn: bar { AB}]의 길이를 구하시오. (15점)

【문항2】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

(가) [eqn: x]가 [eqn: a]보다 큰 값을 가지면서 [eqn: a]에 한없이 가까워짐에 따라 [eqn: f(x)]의 값이 한없이 커질때,

[eqn: lim _{x -> a+0} {f(x)} = INF]

와 같이 나타내고,

[eqn: x]가 [eqn: a]보다 작은 값을 가지면서 [eqn: a]에 한없이 가까워짐에 따라 [eqn: f(x)]의 값이 한없이 작아질때,

[eqn: lim _{ x->a-0 } { f(x)}= - INF]

와 같이 나타낸다.

(뒷면에 계속)

(나) 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: [a,b]]에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

(다) 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 구간 [eqn: [a,b]]에서의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이     라 할 때, [eqn: m LEQ r LEQ M] 인 임의의 실수 [eqn: r]에 대하여, [eqn: f(c) = r]인 실수 [eqn: c]가 구간 [eqn: [a,b]]에 존     재한다.

(라) 열린구간 [eqn: (a,b)]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{ x->a+0 } { f(x)}= INF]이고  [eqn: lim _{ x->b-0 } { f(x)}= - INF]이면

임의의 실수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: f(c) =r]인 [eqn: c 가 ~구간 ~(a,b)]에 존재한다.

(마) [eqn: f(x)]가 다항식이고 [eqn: f(a)=0] 이면, [eqn: f(x) = (x-a)^k g(x)]로 표현된다.

이때, [eqn: k]는 자연수, [eqn: g(x)]는 다항식이고 [eqn: g(a) !=0]이다.

[eqn: f(x)]는 다항식이고 [eqn: f(0)=f(1)=0]이며, 열린구간 [eqn: (0,1)]에서 [eqn: f(x)>0]라 할 때,

2-1.  [eqn: lim _{ x->0+0 } { { f`'(x)} over { f(x) } } = INF]이고 [eqn: lim _{ x->1- 0} { { f`'(x)} over { f(x) } } = -INF]가 됨을 증명하시오. (15점)

2-2.  임의의 실수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: f`' (a) = r f(a)]인 [eqn: a]가 구간 [eqn: (0,1)]에 존재함을 증명하시오. (10점)

2-3.  [eqn: int _{ 0} ^{1 } {f(x) dx }=1] 일 때, 닫힌구간 [eqn: [0,1]]에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]에 대하여,

[eqn: int _{0 } ^{ 1} { f(x)g(x)dx =g(b)}] 인 [eqn: b]가 구간 [eqn: [0,1]]에 존재함을 증명하시오. (15점)

【문항 3】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수를 [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]로 나타낸다.

예를 들어, [eqn: LEFT [ 3.14 RIGHT ] =3,~ LEFT [ 7 RIGHT ] =7]이다.

[eqn: TRIANGLE]는 평면상의 세 점 [eqn: (0,0),~ (1,0), ~(1,1)]을 꼭지점으로 하는 직각 삼각형의 내부의 점들로

이루어진 집합이다. 즉, [eqn: TRIANGLE = LEFT { (x,y)~ |~ 0<x<1,~ 0<y<x RIGHT }]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: TRIANGLE]의 부분집합 [eqn: A_n]을 [eqn: A_n = LEFT { (x,y) IN TRIANGLE ~ |~ LEFT [ log _2 { x} over {y } RIGHT ] =2n-1 RIGHT }]로 정의하고,

[eqn: A_n]의 면적을 [eqn: a_n]이라 할 때,

3-1. [eqn: a_n]을 구하시오. (15점)

3-2. 무한급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ INF } a_n]의 값을 구하시오. (5점)

3-3. [eqn: TRIANGLE]의 점[eqn: (x,y)] 중 [eqn: LEFT [ log _2 { x} over {y } RIGHT ]]가 자연수가 되는 점[eqn: (x,y)]의 전체 집합을 [eqn: S]라고 할 때,

집합 [eqn: S]에서 임의의 점[eqn: (a,b)]를 뽑았을 때 [eqn: LEFT [ log _{2} {a} over {b} RIGHT ]]가 홀수가 될 확률을 구하시오. (10점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

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