2015학년도 부산대학교 수시모집 논술전형

논 술 고 사(자연계) 문 제 지

지원학과(학부)

수험번호

성명

과목

수학

【유의사항】

1. 시험시간은 수학과 과학 선택과목 시간을 합하여 100분입니다.

2. 과학은 4과목 중 원서접수 시 본인이 선택한 1과목을 응시하여야 합니다.

3. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오.

4. 답안 수정 시 지우개 사용 가능합니다.

5. 문항 번호를 기술하고, 답을 작성하시오.

6. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 마시오.

7. 답안 연습은 연습지를 활용하시오.

8. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

【문항1】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

[eqn: M( VecR )= LEFT { LEFT . {pmatrix{a _{1}&~a _{2}#a _{3}&~a _{4}}} ~ RIGHT | ~a _{1,} ~a _{2,} ~a _{3,} ~a _{4} 는~실수 RIGHT }]이다. 즉, [eqn: M(VecR)]은 실수를 성분으로 갖는

[eqn: 2TIMES 2] 행렬 전체의 집합이다. 특히, [eqn: O = pmatrix { 0&~ 0# 0&~0 }]을 영행렬이라고 한다.

(가) 행렬 [eqn: A={pmatrix{a _{1}&~a _{2}#a _{3}&~a _{4}}}]와 [eqn: B={pmatrix{b _{1}&~b _{2}#b _{3}&~b _{4}}}]의 곱은 [eqn: AB={pmatrix{a _{1}&~a _{2}#a _{3}&~a _{4}}}{pmatrix{b _{1}&~b _{2}#b _{3}&~b _{4}}} = {pmatrix{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{3}&~a _{1} b _{2} + a _{2} b _{4}# a _{3} b _{1} + a _{4} b _{3}&~a _{3} b _{2} + a _{4} b _{4}}}]

로 정의한다.

(나) 행렬 [eqn: A={pmatrix{a _{1}&~a _{2}#a _{3}&~a _{4}}}]의 전치행렬은 [eqn: A ^{t} = {pmatrix{a _{1}&~a _{3}#a _{2}&~a _{4}}}]로 정의한다.

(다) 행렬 [eqn: A={pmatrix{a _{1}&~a _{2}#a _{3}&~a _{4}}}]의 대각합은 [eqn: {\tr } (A) = a_1 +a_4]로 정의한다.

(라) 두 행렬 [eqn: A]와 [eqn: B]의 행렬내적은 [eqn: LEFT < A,B RIGHT > = {\tr} (AB^t )]로 정의한다.

(마) 행렬 [eqn: A IN M (VecR)]의 크기는 [eqn: LEFT DLINE A RIGHT DLINE = ( LEFT < A,A RIGHT >)^{ { 1} over { 2}}]로 정의한다.

(바) [eqn: M (VecR)]에 속하는 영행렬이 아닌 두 행렬 [eqn: A] 와 [eqn: B]의 사잇각 [eqn: theta] [eqn: (0 LEQ theta LEQ pi )]는

[eqn: cos theta = { LEFT < A,B RIGHT > } over { LEFT DLINE A RIGHT DLINE LEFT DLINE B RIGHT DLINE }]이 되게 정의한다.

1-1. 행렬 [eqn: A IN M (VecR)]가 영행렬이 아니면 행렬내적 [eqn: LEFT < A,A RIGHT >]는 양의 실수임을 보이시오. (10점)

1-2. 행렬 [eqn: A={pmatrix{1&~1#1&~1}}]와 [eqn: B= {pmatrix{~0&~-1#-1&~~0}}]의 사잇각을 구하시오. (8점)

1-3. [eqn: LEFT DLINE A RIGHT DLINE =2]인 행렬 [eqn: A={pmatrix{a _{1}&~a _{2}#a _{3}&~a _{4}}}]의 개수를 구하시오.

(단, [eqn: a _{1,} ~a _{2,} ~a _{3,} ~a _{4}]는 정수이다.) (7점)

(뒷면에 계속)

【문항 2】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

(가) 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에 속하는 [eqn: x_1, ~x_2]가

[eqn: x_1 < x_2] 이면 [eqn: f(x_1 ) > f(x_2 )]일 때,

함수 [eqn: f]는 구간 [eqn: [a,b]]에서 감소함수라고 한다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 열린구간 [eqn: (a,b)]에서 미분가능한 함수 [eqn: f]가 구간 [eqn: (a,b)]에

속하는 모든 [eqn: x]에 대하여, [eqn: f`'(x) <0]이면 함수 [eqn: f]는 구간 [eqn: [a,b]]에서 감소함수이다.

(다) [중간값 정리] 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,`b]]에서 연속이고, [eqn: f(a)` != f(b)]이면 [eqn: f(a)]와 [eqn: f(b)]

사이의 임의의 값 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f(c)=k]인 점 [eqn: c]가 구간 [eqn: (a,`b)]안에 적어도 한 개 이상

존재한다.

함수 [eqn: f(x)= e^x (1-x)]에 대하여,

2-1. [eqn: f(x)= e^x (1-x)]는 닫힌구간 [eqn: [0,1]]에서 감소함수임을 증명하시오. (7점)

2-2. 실수 [eqn: 0<t<1]에 대하여, [eqn: f(a_t )=t]가 되는 [eqn: a_t]가 열린구간 [eqn: (0,1)]사이에 유일하게

존재함을 증명하시오. (8점)

2-3.  실수 [eqn: 0<t<1]에 대하여, 다음 부등식

[eqn: int_0^{a_t}{1}over{(1-x)^2}~ dx leq {1}over{2 t^2}(e^2 -1)]

을 증명하시오. (20점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

2-